分數——數學進階的基石

分數——數學進階的基石

2013年 10月 15日 08:06

Michael Henninger for The Wall Street Journal

學生們正在玩戰艦數軸遊戲。

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多學生一直到四年級左右數學都學得不錯，之后就會遇到一堵墻——分數。

這堵墻有越來越高的趨勢。由于對分數的掌握被認為是數學進階至關重要的一步，聯邦政府的標準中從三年級開始加強了對分數的重視。全國考試結果顯示，近半數八年級學生沒有能力將三個分數按照大小進行排列。

美國聯邦政府正在資助新的項目，研究如何更有效地教授這門常令學生望而生畏的科目。新的方法是，在早期階段讓學生硬記復雜的分數計算規則，然后通過更多的學習建立對分數概念的理解。他們不用傳統的扇形圖，而是更依賴數軸、紙模和包含分數計算的游戲。

圖：這樣的數學題你還會做嗎

匹茲堡特許學校經營機構Propel Schools技術整合專員萊恩‧斯賓塞(Ryan Spence)說，四年級學生玩一種數軸的電腦游戲可以很快學會這些基礎知識，這種游戲就是紐約市動畫教育資源制作公司BrainPOP提供的戰艦數軸(Battleship Numberline)。孩子們要用一個分數線索炸掉隱藏在數軸上0到1之間的一艘戰艦，精準炸掉就能得分。斯賓塞說，在他教的兩堂課中玩這款游戲一小時后，40名學生在比較分數大小的考試中都拿到了滿分。在從事目前的將科技融入課堂的工作前，斯賓塞是四年級老師。

老師們一般都在三年級引入分數，向學生解釋分母表示整體被分成了多少等份。學生學習時將披薩圖切成楔狀，分成四等份或六等份。然后學習記憶分數加減乘除的詳細規則。

有些孩子難以理解分數測量的是什么。兩塊披薩放在一起時，分成六份的披薩和分成五份的披薩看起來可能沒什么不同。

分數尤其令人困惑的原因是它打破了三年級學生已經掌握的規則。比如整數相乘時會增大，但分數相乘會變小。范德堡大學(Vanderbilt University)特殊教育教授林恩‧福克斯(Lynn Fuchs)說，對孩子們來說“那些是很難的概念”。

采用新方法的老師們等到學生理解分母和分子的意義后，才會介紹解題方法以及如何比較分數大小。分數柱狀圖和數軸被認為比扇形圖更容易畫出來并分成等份。他們還會讓學生把分數排成一排區分大小，而用傳統方法劃分扇形圖則沒法做到這一點。

特拉華大學(University of Delaware)教育學教授、紐瓦克分數學習改善中心(Center for Improving Learning of Fractions)的南希‧喬丹(Nancy Jordan)近期牽頭進行了一項對357個孩子的研究。結果發現，相比計算能力、工作記憶力或集中精神的能力，三年級時對將分數放在數軸上的掌握程度，更能預測孩子四年級時的分數運用能力。喬丹說，最近的研究顯示，這種影響至少會持續到五年級。

另一項由福克斯牽頭的近期研究顯示，在納什維爾13所公立學校，運用數軸對學習分數有困難的四年級學生很有效果。十歲的羅伯特‧魯濱遜(Robert Robinson)去年春天補習之前在分數學習上有問題，但他媽媽沙提卡(Shatika)說他“有了很大進步”，現在數學分數很高。羅伯特說，他答對的分數問題比補習伙伴多，所以在田納西泰坦隊(Tennessee Titans)的紙模游戲中他觸地得分更多。他說：“我覺得很開心。”

在佐治亞州布萊爾思維爾(Blairsville)的中學Union County Middle School，多娜‧歐文斯(Donna Owens)老師說，她采用初高中數學課程開發商Carnegie Learning的教學策略等資源幫助學生找出不同的解題方法。

如果有學生不懂分母，她就會讓他想象被邀請參加兩個生日派對，一個有七位客人，一個有三位客人，然后將兩張紙條分別疊成七等份和三等份，馬上就能看到三分之一比較大。用紙和孩子自己畫的圖能夠很容易地讓他們練習不同的解題方法。

卡內基梅隆大學(Carnegie Mellon University)認知心理學教授鮑勃‧希格勒(Bob Siegler)2012年領銜的一項研究發現，學生五年級時掌握的分數知識能夠預測其高中數學課的表現，在排除智商、閱讀成績、工作記憶力、家庭收入和教育、整數知識等因素的影響后也是如此。

這項發現是基于對美國和英國共4,276名學生的長期研究。這項研究對10至12歲學生的數學成績進行比較，再對他們16到17歲間的數學成績進行比較，然后排除智商測試分數及家庭背景差異的影響。研究人員認為，產生上述結果的原因可能在于，要掌握高級數學，學生們必須擴大對不同類型數字相關性的理解，以及如何在處理不同類型數字時根據需要采用不同規則。

希格勒說：“如果不懂分數，幾乎就不可能理解代數、幾何、物理、統計學、化學，很多扇門就被關上了。”被稱為“共同核心”(Common Core)的最新聯邦標準要求學生在五年級時掌握分數乘除法，目前大多數州都已經實施該標準。

洛杉磯連鎖輔導機構Mathnasium Learning Centers教學總監拉里‧馬丁內克(Larry Martinek)說，分數學不好是家長為自己上四年級和五年級的孩子尋求數學幫助最常見的原因。該輔導機構在全美有385家輔導中心。很多學生都對常用于形容分數的詞匯感到不解，比如“同分母”，所以輔導老師會用更清晰更具體的詞匯。

Michael Henninger for The Wall Street Journal

十歲的RaMiah Griffin正在遊戲中學習分數。

馬丁內克說，比如分母就是“分數的名字”，而不是簡單的“分數線下面的數字”。他說，這樣有助于學生理解為什么不能把二分之一和三分之一相加得到五分之二。輔導老師會解釋說：“一個蘋果加一個蘋果是兩個蘋果。一個香蕉加一個香蕉是兩個香蕉。但一個蘋果加一個香蕉不是兩個蘋果香蕉(banapples)”。

佐治亞州馬丁內茲的扎克‧比戴爾(Zach Bedell)在五年級之前數學都學得很好，他的媽媽金‧比戴爾(Kim Bedell) 說，五年級以后分數乘除開始“讓他學得很艱難”。因為班里有30名學生，老師沒時間回答他所有的問題。

比戴爾太太說，佐治亞州奧古斯塔Mathnasium補習中心的輔導老師幫他理解分數的意義以及計算規則， 在六年級高階數學班里，11歲的扎克現在平均能得98分（滿分100分）。

Sue Shellenbarger