隨機變數間相互不獨立下的蒙地卡羅模擬

關於蒙地卡羅模擬的議題中，過去我只學過在隨機變數相互獨立之下的模擬。

最近，因為在探討風險值(VaR)的議題，因此去找尋非獨立隨機變數的模擬方式。

在台灣大學管中閔教授網站當中，找到不錯的方法。

令，X、Y 為變異數相等之獨立隨機變數，若隨機變數 Z=c*X+sqrt(1-c^2)*Y，則 X 與 Z 的相關係數必為 c。

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無聊如我的人，當然可以來證明一下。

如下證明並未假設隨機變數的分配形式，故為一個一般式(General Form)。

證明如下：

Corr(X,Z)=Cov(X,Z) / (Stdev(X)*Stdev(Z))........(式一)

式一之分子部分：Cov(X,Z)=Cov(X,c*X)+Cov(X,sqrt(1-c^2)*Y)=c*Var(X)+sqrt(1-c^2)*Cov(X,Y)=c*Var(X)

式一之分母部份：Stdev(X)*Stdev(Z)=Stdev(X)*Stdev(c*X+sqrt(1-c^2)*Y)=Stdev(X)*sqrt[c^2*Var(X)+(1-c^2)*Var(Y)]=Stdev(X)*sqrt[Var(Y)]=Stdev(X)*sqrt[Var(X)]=Stdev(X)*Stdev(X)=Var(X)

故，式一=c*Var(X)/Var(X)=c

因此得證，Corr(X,Z)=c